Kryterium Cauchy’ego (nazywane także kryterium pierwiastkowym Cauchy’ego dla odróżnienia od kryterium całkowego Cauchy’ego) – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach nieujemnych, udowodnione przez Cauchy’ego w podręczniku Cours d’Analyse de l’École Royale Polytechnique; I.re Partie. Analyse algébrique z 1821.

Kryterium Niech dany będzie szereg liczbowy

o wyrazach nieujemnych. Jeżeli

to szereg jest zbieżny. Jeżeli

to szereg jest rozbieżny.

Wersja graniczna kryterium Często używana jest też następująca, formalnie słabsza, wersja kryterium. Jeżeli istnieje granica

to gdy szereg jest zbieżny, oraz gdy szereg jest rozbieżny.

Dowód W przypadku, gdy

istnieją takie liczby i że

dla każdego To oznacza, że dla zachodzi nierówność

czyli

co dowodzi zbieżności bezwzględnej szeregu .

W przypadku, gdy

to istnieje podciąg wyrazów , którego granica jest większa od .

To oznacza, że dla nieskończenie wielu wskaźników zachodzi nierówność:

Jeśli nieskończenie wiele wyrazów ciągu jest większych od , to ciąg nie może zbiegać do zera:

Oznacza to, że szereg jest rozbieżny, bo nie spełnia warunku koniecznego zbieżności.

Przykład zastosowania Rozważmy szereg

Wówczas

Zatem na mocy kryterium Cauchy’ego szereg jest zbieżny.