Zagadnienie istnienia nieparzystej liczby doskonałej jest jednym z najstarszych wciąż nierozwiązanych problemów w matematyce.
Metoda Euklidesa znajdowania liczb doskonałych W IX księdze Elementów, najstarszym znanym piśmie opisującym liczby doskonałe, Euklides podał sposób znajdowania liczb doskonałych parzystych: Należy obliczać sumy kolejnych potęg dwójki ( ). Jeżeli któraś z otrzymanych sum okaże się liczbą pierwszą, należy pomnożyć ją przez ostatni składnik i otrzymamy liczbę doskonałą.
Sposób podany przez Euklidesa każe badać kolejno sumy:
Są to sumy ciągu geometrycznego o ilorazie , mają więc one postać . Jeśli któraś z liczb okaże się liczbą pierwszą, to wówczas jest liczbą doskonałą.
Własności Leonhard Euler udowodnił, że każda liczba doskonała parzysta ma postać , gdzie jest liczbą pierwszą. Warunkiem pierwszości liczby jest pierwszość liczby .
Rzeczywiście, niech będzie liczbą złożoną, gdzie są liczbami naturalnymi. Wówczas:
również jest liczbą złożoną. Istnieje jednoznaczna odpowiedniość liczb doskonałych parzystych z liczbami pierwszymi Mersenne’a w postaci .
Euler udowodnił, że każda liczba doskonała nieparzysta musi być postaci , gdzie jest liczbą pierwszą postaci .