Problem geometryczny Karola Borsuka dotyczy dzielenia zbiorów ograniczonych w przestrzeni euklidesowej na podzbiory o mniejszych średnicach.
Nietrudno w przestrzeni euklidesowej pokryć 3-wymiarową kulę czterema podzbiorami o średnicy mniejszej od średnicy kuli. Podobnie jest z kulą n-wymiarową i podzbiorami. W roku 1933 Karol Borsuk pokazał, że podzbiorów nie wystarczy. Postawił zatem następujące pytanie ogólne, dotyczące dowolnych zbiorów w przestrzeni euklidesowej, a nie tylko kulKarol Borsuk, Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre, „Fundamenta Mathematicae”, 20 (1933), s. 177–190.: Czy każdy zbiór o średnicy 1, w przestrzeni euklidesowej wymiaru n, można rozbić na n+1 zbiorów o średnicach mniejszych od 1?
(Borsuk pyta o zbiorów, gdyż, jak sam pokazał na przykładzie kuli, nie wystarczy).
W roku 1945 Hugo Hadwiger opublikował swój wynik o pozytywnej odpowiedzi w szczególnym wypadku ograniczonych zbiorów wypukłych, których powierzchnia jest gładka (dopuszcza w każdym punkcie dokładnie jedną (n–1)-wymiarową płaszczyznę styczną). W roku 1971 A.S. Riesling pokazał, że hipoteza Borsuka zachodzi dla zbiorów centralnie symetrycznych, a C. A.