Na podium zawodów Pucharu Świata Piccard po raz pierwszy stanął 10 stycznia 1988 roku w Val d’Isère, zajmując drugie miejsce w supergigancie. W kolejnych zawodach sezonu 1987/1988 Francuz jeszcze trzykrotnie stawał na podium: 16 stycznia w Bad Kleinkirchheim był trzeci w zjeździe, dzień później w tej samej miejscowości był trzeci w kombinacji, a 13 marca 1988 roku w Beaver Creek odniósł swoje pierwsze zwycięstwo wygrywając supergiganta. W klasyfikacji generalnej dało mu to siódme miejsce, a w klasyfikacjach supergiganta i kombinacji był trzeci. W klasyfikacji supergiganta wyprzedzili go tylko Pirmin Zurbriggen ze Szwajcarii i Markus Wasmeier z RFN, a w kombinacji lepsi byli dwaj reprezentanci Austrii: Hubert Strolz i Günther Mader. W lutym 1988 roku brał udział w igrzyskach olimpijskich w Calgary, gdzie zdobył dwa medale. Najpierw zajął trzecie miejsce w zjeździe, plasując się za Zurbriggenem i jego rodakiem Peterem Müllerem. Sześć dni później wywalczył złoty medal w supergigancie, wyprzedzając bezpośrednio Austriaka Helmuta Mayera i Larsa-Börje Erikssona ze Szwecji. Był to debiut tej konkurencji w programie igrzysk, Piccard został tym samym pierwszym w historii mistrzem olimpijskim w supergigancie. Na tych samych igrzyskach Francuz startował także w kombinacji, jednak nie ukończył rywalizacji.