dokładniej jeśli szereg jest zbieżny, to jest także sumowalny metodą Cesàro i obie te wartości są równe. Pokazuje to, że sumowalność metodą Cesàro jest uogólnieniem sumowalności metodą klasyczną.
Dowód: zdefiniujmy i Zauważmy, że oraz Zatem więc na mocy twierdzenia Stolza otrzymujemy, że
Sumy potęg kolejnych liczb naturalnych Ustalmy Niech Rozważmy ciąg:
Zauważmy, że oraz
Aby obliczyć granicę ciągu skorzystamy z twierdzenia Stolza. Obliczamy:
Wobec tego:
Twierdzenie odwrotne Twierdzenie Stolza nie daje się odwrócić, tzn. ze zbieżności ciągu nie wynika zbieżność ciągu . Pokazuje to przykład: Niech i dla Wówczas oraz Zatem Z drugiej strony i To pokazuje, że ciąg nie jest zbieżny.
Zobacz też lemat Toepliza
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Jacek Dymel, Obliczanie granic ciągów będących wynikiem działań na ciągach rozbieżnych, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-07-08]. Pi Han Goh, Stolz–Cesàro theorem , brilliant.org [dostęp 2024-07-08].
S