Twierdzenie Stolza, twierdzenie Stolza-Cesàro – twierdzenie analizy matematycznej o zbieżności pewnych ciągów liczb rzeczywistych. Nazwa pochodzi od nazwisk matematyków Ottona Stolza i Ernesta Cesàro, choć szczególny przypadek udowodnił wcześniej Augustin Louis Cauchy.
Twierdzenie to jest odpowiednikiem reguły de l’Hospitala, która opisuje podobne symbole nieoznaczone dla granic funkcji.
Twierdzenie Niech będą ciągami liczb rzeczywistych, przy czym: ciąg jest rosnący i rozbieżny do nieskończoności istnieje granica – skończona lub nie – ciągu
Wówczas:
Równość zachodzi także, gdy zbiegają do zera, a jest ściśle monotoniczny.
Dowód Lemat Jeżeli to jest kombinacją wypukłą liczb
Dowód
Teza Lematu wynika z tego, że oraz
Przypadek zbieżności Załóżmy, że ciąg jest zbieżny do pewnej liczby Niech Wówczas istnieje liczba taka, że
dla Ustalmy Na podstawie lematu dla i otrzymujemy, że
jest kombinacją wypukłą liczb dla Zatem
Stąd, oczywiście, otrzymujemy
dla Dalej mamy
Zatem z faktu, że otrzymujemy
Z uwagi na to, że znajdziemy liczbę taką, że dla Czyli
dla każdego co daje tezę.
Przypadek granicy niewłaściwej Załóżmy teraz, że ciąg ma granicę niewłaściwą. Wystarczy rozważyć przypadek, gdy Jeśli granica jest równa dowód przebiega analogicznie.