Przestrzeń z wprowadzoną metryką Hausdorffa jest przestrzenią metryczną zupełną wtedy i tylko wtedy, gdy jest zupełna. Topologia przestrzeni zależy od topologii przestrzeni a nie od samej metryki gdy metrykę zastąpić przez topologicznie równoważną ' (obie w ), to nowa, indukowana metryka Hausdorffa w będzie topologicznie równoważna starej (będzie indukować tę samą topologię w ).
jest przestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią zwartą.
Zbiór jest skończony jest gęsty w
Przykład W przestrzeni z metryką euklidesową rozważmy dwa zbiory domknięte: oraz Odpowiednie odległości wynoszą:
Uogólnienia Metryka Hausdorffa może być definiowana w podobny sposób dla domkniętych i niekoniecznie zwartych podzbiorów przestrzeni W tym wypadku metryka może przyjmować wartości nieskończone, a topologia przestrzeni będzie zależeć nie tylko od topologii przestrzeni ale też od użytej w metryki
Z kolei dla zbiorów niekoniecznie domkniętych można podobnie zdefiniować funkcję odległości, jako odległość między domknięciami tych zbiorów. Funkcja będzie pseudometryką (nie będzie spełniać warunków metryki – odległość pomiędzy dwoma różnymi zbiorami mającymi to samo domknięcie będzie równa zero, wbrew pierwszemu warunkowi definicji metryki).
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Odległości