Dodatkowo

gdzie oznacza tocjent Eulera i

gdzie jest największym dzielnikiem nieparzystym liczby Te dwa wzory są prawdziwe dla .

Biorąc logarytm zespolony iloczynu Eulera, mamy

przy czym ostatnia równość zachodzi, ponieważ jest szeregiem potęgowym funkcji Różniczkując wyraz po wyrazie, otrzymujemy

gdzie oznacza funkcję von Mangoldta.

Związek z liczbami Bernoulliego:

dla każdej liczby parzystej dodatniej gdzie to -ta liczba Bernoulliego. Ponadto dla liczb całkowitych ujemnych

Zatem funkcja ζ przyjmuje wartość 0 dla każdej ujemnej liczby parzystej.

Logarytm funkcji zeta można wyrazić jako:

gdzie to funkcja licząca liczby pierwsze.

Znaczenie w teorii liczb mały|Pierwsza strona artykułu Riemanna O liczbie liczb pierwszych mniejszych od zadanej wielkości z 1859 r.

Funkcja jest podstawowym obiektem badań analitycznej teorii liczb. Jest to funkcja meromorficzna, która swoim zachowaniem opisuje zjawiska dyskretne, takie jak rozmieszczenie liczb pierwszych.