W dalszej części przyjmuje się, że wszystkie współczynniki należą do ustalonego ciała.
Motywacje thumb|Rozwiązaniem układu równań oraz jest para uporządkowana gdyż podstawienie do równań poprzednika tej pary za i jej następnika za da dwie tożsamości
W geometrii euklidesowej można rozpatrywać miejsca geometryczne wyznaczone przez dane dwie proste na płaszczyźnie – mogą one wyznaczać prostą, punkt lub nie wyznaczać żadnego miejsca geometrycznego; odpowiada im odpowiednio nieskończony zbiór elementów, zbiór złożony z pojedynczego elementu lub zbiór pusty. Wprowadzenie na płaszczyźnie układu współrzędnych umożliwia algebraizację tego zadania: proste zadane są za pomocą równań liniowych, zaś miejsce geometryczne wyznaczone przez te proste odpowiada zbiorowi elementów spełniających wszystkie równania jednocześnie (pełną interpretację geometryczną można znaleźć w sekcji Uogólnienia).
Jeśli w układzie współrzędnych kartezjańskich proste zadane są równaniami
oraz
to ich jedyny punkt wspólny ma współrzędne co łatwo sprawdzić wprost:
To, że jest to jedyny punkt, wynika z faktu, iż proste te nie są równoległe (argument formalny podano dalej).