Ewakuował się do Wielkiej Brytanii i 2 sierpnia 194012 sierpnia. został pilotem dywizjonu 303 (numer służbowy P1503). Jego dokonania opisał Arkady Fiedler w książce Dywizjon 303Rozdział Ból.. Razem z Janem Zumbachem, Mirosławem Fericiem i Witoldem Łokuciewskim tworzył słynną „czwórkę muszkieterów”, zespół pilotów polskich walczących w bitwie o Anglię. W okresie tych walk został ciężko ranny (7 września 1940) pociskiem kalibru 20 mm z działka Bf 110. Uratował się skokiem na spadochronie. Po długim leczeniu wrócił do latania bojowego. W listopadzie 1941 został dowódcą eskadry „B” dywizjonu 303.
4 kwietnia 1942 roku w czasie wykonywania zadania bojowego Circus 119 na samolocie Supermarine Spitfire Mk VB (nr ser. AD 455, znaki RF-F), polegającego na osłonie bombowców nad terytorium Francji, razem z pilotami swojej eskadry wdał się w walkę z niemieckimi myśliwcami. Samolot Daszewskiego został zestrzelony i spadł do kanału La Manche. Daszewski zdołał nadać sygnał SOS i na tym kontakt z nim się urwał. Nie został odnaleziony.
Odbył 90 lotów bojowych w łącznym czasie 127 godzin.