W pierwszej fazie sezonu postawił on właśnie na Curciego w bramce Romy i ten zagrał w pierwszych 7 meczach ligowych, jednak po słabym początku Curciego zmienił nowy nabytek Romy, Brazylijczyk Doni i Curci niemal do końca sezonu usiadł na ławce, grając raptem w kilku meczach. Ogólnie w całym sezonie zagrał 10 razy w lidze i 8 razy w Pucharze UEFA. Z Romą wywalczył wicemistrzostwo kraju (Roma co prawda zajęła 5. miejsce w lidze, ale po korekcie tabeli związanej z korupcją kilku klubów przyznano jej wicemistrzostwo Włoch). Od początku sezonu 2006/2007 w bramce Romy stał Doni, a Curci był rezerwowym.
25 czerwca 2008 roku Curci podpisał kontrakt ze Sieną i przez 2 lata był jej podstawowym bramkarzem. W sezonie 2009/2010 Siena spadła do drugiej ligi, a latem Curci odszedł do Sampdorii. Od sezonu 2011/2012 ponownie grał w Romie. 17 lipca został wypożyczony do Bologna FC. 2015–2017 był zawodnikiem 1. FSV Mainz 05. W 2018 trafił do AFC Eskilstuna.
Kariera reprezentacyjna Razem z reprezentacją Włoch do lat 21 Curci wziął udział w Młodzieżowych Mistrzostwach Europy 2006 i Młodzieżowych Mistrzostwach Europy 2007.