Załóżmy, że jest niepustym, domkniętym, wypukłym i ograniczonym podzbiorem przestrzeni Banacha, funkcja jest ciągła i jest zbiorem zwartym. Wtedy ma punkt stały w zbiorze Zamiast wypukłości wystarczy założyć o że jest absolutnym retraktem Borsuka (AR).
(Twierdzenie Schaudera-Tichonowa) Załóżmy, że jest niepustym, wypukłym i zwartym podzbiorem lokalnie wypukłej przestrzeni liniowo-topologicznej i funkcja jest ciągła. Wtedy ma punkt stały w zbiorze Można odstąpić od założenia lokalnej wypukłości jak pokazał francuski matematyk Cauty (artykuł w Fundamenta Mathematicae).
(Twierdzenie Darbo, 1950) Niech będzie niepustym, domkniętym, wypukłym i ograniczonym podzbiorem przestrzeni Banacha, zaś będzie kontrakcją względem odpowiedniej miary niezwartości (np. Kuratowskiego, Hausdorffa), tzn. przy dla pewnej stałej Wówczas posiada punkt stały. Odnotujmy, że kontrakcje Banacha są zwężające zarówno względem miary niezwartości Kuratowskiego, jak i Hausdorffa;