przekształcenie unitarne) przestrzeni Hilberta oraz przestrzeni sprzężonej do niej.
Twierdzenie Niech będzie przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym zaś będzie przestrzenią sprzężoną do Wówczas dla każdego funkcjonału liniowego istnieje jeden i tylko jeden element spełniający dla wszystkich tożsamość
Ponadto odwzorowanie dane wzorem jest wzajemnie jednoznacznym przekształceniem antyliniowym zachowującym normę; jeśli określona jest nad ciałem liczb rzeczywistych (a nie liczb zespolonych), to wspomniane odwzorowanie jest przekształceniem liniowym zachowującym normę (tzn. jest izometrią liniową, a nie antyliniową).
Dowód W dalszej części oznaczać będzie funkcjonał zerowy, czyli dany wzorem dla każdego
Jeżeli jest skończonego wymiaru, to istnienie odpowiedniego dla wynika z jednoznaczności, gdyż iniektywne przekształcenie dane wzorem jest wtedy suriekcją, a zatem jest izomorfizmem liniowym w przypadku rzeczywistym (zob. dowód) i antyliniowym w przypadku zespolonym (zob. Antyliniowość niżej);