Ogółem rozegrał 29 meczów w kadrze Związku Radzieckiego. W 1965 i 1967 otrzymał tytuł najlepszego bramkarza ZSRR przyznawany przez magazyn "Ogoniok". Na zakończenie kariery powrócił do Gruzji, gdzie występował w zespole Torpeda Kutaisi.
Kariera trenerska Jako trener nie odniósł większych sukcesów. Pracował w kraju (prowadził drużynę Spartaka Kostroma i reprezentację juniorów Rosyjskiej FSRR, z którą zdobył drugie miejsce na Spartakiadzie Narodów ZSRR w 1983) i za granicą - w Afryce (jako szkoleniowiec reprezentacji Czadu i Gwinei).
Kariera działacza Od 1987 do 1991 pełnił funkcję sekretarza piłkarskiej federacji Rosyjskiej FSRR. W 1992, po rozpadzie Związku Radzieckiego usiłował doprowadzić do uznania tej organizacji za prawnego reprezentanta piłki nożnej w nowo powstałym państwie rosyjskim, jednak międzynarodowe organizacje piłkarskie przyznały ten status Rosyjskiemu Związkowi Piłki Nożnej przekształconemu z byłej Federacji Piłki Nożnej ZSRR. W latach 90. Kawazaszwili stanął na czele Ogólnorosyjskiego Stowarzyszenia Piłki Nożnej.