dlatego można rozłożyć do postaci
gdzie jest unitarna, zaś jest diagonalna i unitarna.
Wyznacznik macierzy unitarnej jest liczbą zespoloną o module równym 1:
Wektory własne macierzy są ortogonalne. może być zapisana w postaci gdzie oznacza eksponentę macierzy, jest jednostką urojoną, zaś jest macierzą hermitowską.
Równoważne warunki Jeżeli jest zespoloną macierzą kwadratową to następujące warunki są równoważne: jest unitarna. jest unitarna. macierz odwrotna do jest równa macierzy hermitowsko sprzężonej do tj. Kolumny tworzą bazę ortonormalną w ze względu na iloczyn wewnętrzny. Wiersze tworzą bazę ortonormalną w ze względu na iloczyn wewnętrzny. jest izometrią ze względu na zwykłą normę. jest macierzą normalną z wartościami własnymi leżącymi na okręgu jednostkowym.
Grupa unitarna Dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej zbiór wszystkich macierzy unitarnych z mnożeniem macierzy jako działaniem grupowym i macierzą jednostkową jako elementem neutralnym mnożenia tworzy grupę, nazywaną grupą unitarną Jest tak, gdyż zachodzą następujące własności: Iloczyn dwóch macierzy unitarnych jest macierzą unitarną. Macierz odwrotna do macierzy unitarnej jest unitarna. Macierz jednostkowa jest unitarna.
Parametryzacje macierzy unitarnych Macierze unitarne 1×1 Ogólna postać macierzy unitarnej 1×1: