Zakładając rzecz jasna, że „ZFC jest niesprzeczne”, wiemy, iż także „ZFC+I jest niesprzeczne”. Używając stwierdzenia (**) możemy teraz zaargumentować, że zdanie „ZFC+I jest niesprzeczne” jest dowodliwe w ZFC+I. To z kolei przeczy drugiemu twierdzeniu Gödla o niezupełności.
Z drugiej strony, jeśli istnieją liczby nieosiągalne i jest pierwszą taką liczbą, to Lκ jest modelem dla „ZFC + nie istnieją liczby nieosiągalne”. Zatem jeśli teoria ZF jest niesprzeczna, to także teoria „ZFC + nie istnieją liczby nieosiągalne” jest niesprzeczna.
Większość własności dużych liczb kardynalnych tworzy ciąg liniowo uporządkowany ze względu na „siłę niesprzeczności istnienia danej liczby”. Można to sformalizować następująco. Dla danych własności i dużych liczb, dokładnie jedno z następujących stwierdzeń jest prawdziwe: W ZFC można udowodnić, że: „ZFC+ jest niesprzeczne” wtedy i tylko wtedy, gdy „ZFC+ jest niesprzeczne”. W ZFC+ można udowodnić, że „ZFC+ jest niesprzeczne”. W ZFC+ można udowodnić, że „ZFC+ jest niesprzeczne”.