Burr krótko uczęszczał do Akademii Wojskowej San Rafael w San Rafael w Kalifornii i ukończył Berkeley High School.
Kariera W 1934 dołączył do grupy teatralnej repertuarowej w Toronto, która występowała w całej Kanadzie, a następnie dołączył do innej grupy, która podróżowała w Indiach, Australii i Anglii. Krótko uczęszczał do Long Beach Junior College i przez semestr uczył w San Jose Junior College, pracując wieczorami jako aktor radiowy i piosenkarz. Po krótkim pobycie jako piosenkarz w nocnym klubie w Paryżu, Burr studiował na Uniwersytecie Stanforda, Columbia i University of Chunking. W wieku 19 lat poznał reżysera Anatole’a Litvaka, który załatwił Burrowi pracę w letnim kinie w Toronto. Doprowadziło to do powiązania z angielską firmą koncertową. W 1937 rozpoczął współpracę z Pasadena Playhouse.
W 1940 przeniósł się do Nowego Jorku i zadebiutował na Broadwayu w musicalu Crazy With the Heat (1941). Jego kolejny występ w broadwayowskiej sztuce The Duke in Darkness (1944) jako lojalny przyjaciel uwięzionego bohatera zaowocował kontraktem z RKO Pictures.