Rodzice dali jej na pierwsze imię „Asia” (wymawia się ['azja]), jednak jego zarejestrowania odmówił urząd stanu cywilnego, w związku z czym zostało ono zamienione na „Aria”, z którego rejestracją nie było problemu. Mimo to aktorka zawsze posługiwała się wersją „Asia”.
Oboje rodzice Asii specjalizowali się w tworzeniu kina grozy. Ojciec był odpowiedzialny za nakręcenie jednych z najczarniejszych i najkrwawszych filmów tego gatunku, tj. m.in. Odgłosy, Głęboka czerwień czy Ciemności, z kolei matka w wielu z nich grała postacie, które spotykał tragiczny los. Sama Asia po latach tak to wspominała:
Gdy była dzieckiem, ojciec czytał jej do snu scenariusze swoich filmów, zaś gdy miała 6. urodziny, otrzymała „prezent” w postaci możliwości obejrzenia filmu Duch. Jako nastolatka goliła głowę i nosiła chłopięce ubrania, zaś o swoim wyglądzie fizycznym wyrażała przekonanie, że „nie jest lepszy od tego, jaki miał jeden z trupów w filmach ojca”. Między 14. a 17. rokiem życia zrobiła sobie większość z obecnie posiadanych tatuaży (jednym z nich jest imię zmarłej przyrodniej siostry Anny). Z powodu cechującej ją wtedy introwersji zaczytywała się w książkach, co stanowiło sposób na zrekompensowanie braku przyjaciół – w szczególności lubiła dzieła Fiodora Dostojewskiego i Charles’a Baudelaire’a.