Równanie funkcyjne – równanie, w którym niewiadomą jest funkcja.
Przykłady Wszystkie równania różniczkowe i równania całkowe. Równanie Abela Równanie spełniają funkcje addytywne. Równania oraz spełniają odpowiednio funkcje funkcje parzyste i nieparzyste. Znajdźmy wszystkie funkcje dla których Podstawiając otrzymujemy czyli Niech wówczas
Ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, a suma liczb nieujemnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy obie te liczby są równe zeru, więc równość jest spełniona dla każdego Zatem jedyną funkcją spełniającą dane równanie funkcyjne jest Równania rekurencyjne: jedynym ciągiem spełniającym warunki jest ciąg Użycie układu równań funkcyjnych w alternatywnej definicji funkcji trygonometrycznych.
Równanie Cauchy’ego
Ważnym przykładem równania funkcyjnego jest równanie Cauchy’ego Cauchy rozwiązał następujące równania funkcyjne w dziedzinie funkcji ciągłych.
Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania Jedynymi ciągłymi rozwiązaniami równania są funkcje liniowe
Dowód. Na początek zauważmy dwie rzeczy. Stosując prostą indukcję można pokazać, że Zauważmy dalej, że czyli
Niech teraz Pokażemy, że równość zachodzi, gdy jest liczbą naturalną, całkowitą, wymierną, a w końcu rzeczywistą.