Wówczas
gdzie:
Ponieważ
zatem
stąd zaś
Nierówność ta obowiązuje dla każdego a każda funkcja prosta jest mniejsza lub równa Dlatego
gdzie oznacza całkę dolnąCałka dolna funkcji definiowana jest jako
Podobnie definiuje się całkę górną
Gdy całki górna i dolna funkcji -mierzalnej są równe, to funkcję nazywa się -całkowalną i definiuje jej całkę jako
(w tym ujęciu funkcja może mieć zatem całkę równą lub nieujemna funkcja -mierzalna jest zawsze -całkowalna)..
Zobacz też twierdzenie Lebesgue’a-Fatou twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej twierdzenie Fubiniego
Uwagi
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-07-15]. Fatou theorem (on Lebesgue integrals) , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-15].
Kategoria:Nierówności całkowe Fatou Fatou