Zauważmy, że (dla każdego ), więc możemy zastosować lemat Fatou do funkcji
Ponieważ to otrzymujemy wówczas, że
Stąd już wnioskujemy, że a zatem Ponieważ
to możemy też wywnioskować, że
Przykład: Konieczność założenia (c) Przykład ten pokazuje konieczność założenia istnienia funkcji dominującej w twierdzeniu Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej. Rozważmy odcinek wyposażony w miarę Lebesgue’a Dla liczby naturalnej definiujemy funkcję daną wzorem
Warunki (a), (b) są spełnione. Warunek (d) też jest spełniony, przy czym
dla każdego Natomiast warunek (c) nie jest spełniony, gdyż nie istnieje funkcja całkowalna , taka że dla prawie wszystkich i dla wszystkich spełniony jest warunek
Dla każdego mamy , ale
Zatem
Zobacz też całka Lebesgue’a lemat Fatou twierdzenie Fubiniego twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej twierdzenie Vitalego o zbieżności
Przypisy
Bibliografia
Literatura dodatkowa
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-07-16].
Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej Kategoria:Ciągi funkcyjne