nie mają objętości i nie stosuje się do nich addytywność miary, zgodnie z którą suma miar rozłącznych zbiorów mierzalnych jest miarą sumy mnogościowej tych zbiorów.
Twierdzenie Banacha-Tarskiego i pokrewne wyniki uświadamiają ograniczenia możliwych rozszerzeń miary Lebesgue’a, które miałyby pozostać niezmiennicze względem pewnych przekształceń przestrzeni euklidesowychWagon, Stan: The Banach-Tarski paradox, w: „Encyclopedia of Mathematics and its Applications”, 24. Cambridge University Press, Cambridge, 1985. ..
Paradoks Banacha-Tarskiego ma swoją popularną wersję: ziarnko grochu może być podzielone na skończenie wiele części, z których (przez izometrie) można złożyć kulę wielkości Słońca.
W jednej z książek dotyczących paradoksu Banacha-Tarskiego zamieszczone jest motto wskazujące jeden ze sposobów rozwiązania problemu delijskiego: Delijczycy: W jaki sposób możemy uwolnić się od zarazy? Wyrocznia delficka: Powiększcie dwukrotnie objętość ołtarza Apolla zachowując jego kształt sześcianu! Banach i Tarski: Czy możemy użyć aksjomatu wyboru?