Na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla (ZF, bez aksjomatu wyboru AC) równoważne są definicje naturalna i Tarskiego, równoważne są wtedy także warianty definicji Dedekinda. Na mocy zasady indukcji definicja naturalna pociąga za sobą definicję Dedekinda, jednak pociąganie w drugą stronę wymaga użycia aksjomatu wyboru (AC), a przynajmniej aksjomatu wyborów zależnych (DC).
Liczebności zbiorów – przykłady Zbiory skończone a) Liczba wszystkich podzbiorów zbioru -elementowego jest równa (zob. zbiór potęgowy).
b) Liczba podzbiorów -elementowych zbioru -elementowego jest równa (zob. symbol Newtona).
Zbiory nieskończone a) Zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb parzystych, który jest jego właściwym podzbiorem. Równoliczność ustala funkcja wzajemnie jednoznaczna
b) Zbiór liczb rzeczywistych jest równoliczny z podzbiorem dodatnich liczb rzeczywistych. Wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość elementów ustala np. odwzorowanie wykładnicze
W ten sposób zbiory liczb naturalnych i rzeczywistych są nieskończone w sensie Dedekinda.
Zobacz też aksjomat nieskończoności nieskończoność
Uwagi
Kategoria:Liczby kardynalne