Przykład to równanie podane wyżej:
Po podstawieniu pod liczby ujemnej wszystkie trzy człony (składniki) są dodatnie, więc ich suma nie może być zerowa.
Jeśli współczynniki kwadratowy i wolny mają przeciwne znaki to istnieje co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie. Przykłady to równania:
Ostatni fakt wynika z twierdzenia Darboux, a wszystkie trzy reguły to szczególne przypadki reguły znaków Kartezjusza.
Inne szczególne przypadki Wzory skróconego mnożenia mały|Graficzne uzasadnienie wzoru na kwadrat sumy: Ten wzór pomaga rozwiązać niektóre równania kwadratowe zupełne, tzn. zawierające wszystkie trzy człony
Czasem zupełne równanie kwadratowe da się przedstawić w postaci iloczynowej, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Przykład – równanie:
Można je zapisać, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:
Wtedy istnieje jedno rozwiązanie:
Współczynniki całkowite Istnieją pewne szczególne metody rozwiązywania równań o współczynnikach całkowitych – równań, gdzie współczynniki postaci ogólnej są liczbami całkowitymi:
W takich przypadkach istnieje metoda wyznaczania rozwiązań wymiernych, czyli ilorazów liczb całkowitych. Dokładniej: