Obecnie wiadomo również, że równoważne twierdzenia zostały udowodnione wcześniej przez łotewskiego matematyka Piersa Bohla w 1904 roku oraz francuskiego matematyka Henriego Poincarégo w 1886 roku.
Twierdzenie Brouwera wynika z twierdzenia Lefschetza o punkcie stałym oraz jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego twierdzenia Schaudera o punkcie stałym.
Zastosowania Jeżeli jest kulą jednostkową w to jej powierzchnia (homeomorficzna ze sferą ) nie jest jej retraktem. Istotnie, gdyby istniała retrakcja to odwzorowanie takie, że nie miałoby punktów stałych wbrew twierdzeniu Brouwera. Jeśli to a więc Zaś gdy to bo . Żadna sfera nie jest ściągalna. Istotnie, każdy różny od 0 punkt kuli można jednoznacznie przedstawić w postaci dla pewnych oraz Gdyby istniała homotopia od identyczności do odwzorowania stałego, to przekształcenie byłoby retrakcją kuli na jej powierzchnię.
Zobacz też twierdzenie Lefschetza o punkcie stałym twierdzenie Schaudera o punkcie stałym
Uwagi