Wielokrotny reprezentant Rosji w turniejach drużynowych, między innymi: ; sześciokrotny medalista: wspólnie z drużyną: dwukrotnie złoty (2000, 2002) i trzykrotnie srebrny (2004, 2010, 2012) oraz indywidualnie – brązowy (2000 – na VI szachownicy)OlimpBase. ; ośmiokrotny medalista: wspólnie z drużyną: trzykrotnie złoty (2005, 2010, 2013) i srebrny (2001) oraz indywidualnie – złoty (2005 – na III szachownicy), dwukrotnie srebrny (2001 – na III szachownicy, 2011 – na II szachownicy) i brązowy (2010 – na I szachownicy)OlimpBase. ; czterokrotny medalista: wspólnie z drużyną – dwukrotnie złoty (2003, 2007) i brązowy (2013) oraz indywidualnie – złoty (2011 – na II szachownicy)OlimpBase.
Aleksandr Griszczuk był ósmym w historii szachistą, który przekroczył granicę 2800 punktów rankingowych. Najwyższy ranking w dotychczasowej karierze osiągnął 1 grudnia 2014, z wynikiem 2810 punktów zajmował wówczas 3. miejsce na światowej liście FIDE (za Magnusem Carlsenem i Fabiano Caruaną), jednocześnie zajmując 1.