Konstrukcja Dowód istnienia zbiorów Bernsteina wymaga użycia aksjomatu wyboru. Jan Mycielski, Hugo Steinhaus i Stanisław Świerczkowski udowodnili, że pod założeniem aksjomatu determinacji nie istnieją zbiory BernsteinaJan Mycielski, Hugo Steinhaus: A mathematical axiom contradicting the axiom of choice, Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys., 10 (1962) 1–3.Jan Mycielski, Stanisław Świerczkowski: On the Lebesgue measurability and the axiom of Determinateness. „Fundamenta Mathematicae”. 54 (1964), s. 67–71..
Poniższe rozumowanie oparte jest na twierdzeniu Zermela, które mówi, że każdy zbiór można dobrze uporządkować (twierdzenie Zermela jest równoważne aksjomatowi wyboru).
Niech X będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską – wówczas X jest mocy continuum oraz rodzina wszystkich borelowskich podzbiorów jest również mocy continuum. Wobec powyższego można wszystkie nieprzeliczalne podzbiory borelowskie przestrzeni X ustawić w ciąg pozaskończony
(Powyżej liczba kardynalna traktowana jest jako liczba porządkowa).