Poza macierzystym Muzeum Literatury, wystawy Muzeum Karykatury najczęściej odbywały się w galerii tygodnika Szpilki. Taki stan rzeczy trwał przez pierwsze pięć lat istnienia muzeum.
W 1983 instytucja przeniosła się do obecnej siedziby − dawnej oranżerii pałacu Prymasowskiego przy ul. Koziej 11. Uzyskanie praw do budynku i zdobycie funduszy na remont wymagało ogromnego zaangażowania ze strony Lipińskiego i jego współpracowników. Pierwszą wystawę przy ulicy Koziej pt. Najlepsze prace w zbiorach Muzeum Karykatury otwarto 27 października 1983.
Stan muzealiów na koniec pierwszego roku samodzielnego funkcjonowania wynosił blisko 2500 obiektów. W 2022 roku wynosił ponad 25 tysięcy prac. W zbiorach znajdują się karykatury od XVIII-wiecznych po współczesne. Rocznie organizowane jest od 5 (np. w 2005) do nawet 9 (2000) wystaw: monograficznych autorów, tematycznych i pokonkursowych.