Stąd gdy to
Wymiarem pudełkowym zbioru nazywamy granicę
gdzie symbol należy zrozumieć tak jak napisano wyżej.
Powyższa granica jest dobrze określona, co wynika ze zwartości zbioru
Przykład obliczeniowy Wygodnym sposobem obliczania wymiaru dwuwymiarowego zbioru jest przedstawienie go na siatce, której oczka mają rozmiar a następnie zliczanie, ile oczek siatki potrzeba do pokrycia zbioru. Niemniej w przykładzie niektórych fraktali wystarczy wziąć pod uwagę sposób, w jaki są one tworzone, sprowadza się to wtedy do wymiaru samopodobieństwa.
Przykładowo, zbiór Cantora powstaje w wyniku iteracji. Na każdym jej kroku zbiór dzieli się na dwa mniejsze, a każdy z tych nowo utworzonych zbiorów jest trzykrotnie mniejszy niż zbioru z poprzedniego etapu procesu. Stąd, jeśli przyjmiemy (gdzie oznacza etap konstrukcji zbioru), to otrzymamy
Możemy więc napisać
Widać stąd, że wymiar zbioru Cantora nie jest liczbą całkowitą.
Kategoria:Parametry topologiczne