Twierdzenie Abela-Ruffiniego – głosi, że pierwiastki równania algebraicznego stopnia wyższego niż 4 nie dają się wyrazić w ogólnej postaci za pomocą czterech działań algebraicznych i pierwiastkowania poprzez współczynniki równania w skończonej liczbie kroków (czyli poprzez tak zwane pierwiastniki).
Mówiąc krótko, nie istnieją ogólne wzory na rozwiązania takiego równania.
Twierdzenie Abela-Ruffiniego nie stwierdza, że równanie stopnia wyższego niż 4 nie ma rozwiązań, a jedynie, że nie ma ogólnej metody na dokładne wyrażenie rozwiązań (każde równanie algebraiczne o współczynnikach zespolonych ma co najmniej jedno rozwiązanie zespolone – zob. Zasadnicze twierdzenie algebry).
Na przykład rozwiązania równania kwadratowego postaci dla wyrażają się wzorami:
Analogiczne, choć bardziej złożone, wzory można podać dla równania stopnia 3 i stopnia 4. Twierdzenie Abela-Ruffiniego mówi, że dla równań stopnia wyższego niż 4 wzory takie nie istnieją.
Jest jasne, że w szczególnych przypadkach rozwiązania dają się znaleźć w postaci dokładnej (przykładem jest równanie ), natomiast w sytuacji ogólnej można obliczać je z dowolną dokładnością za pomocą metod przybliżonych, na przykład metody Newtona-Raphsona.