W 1966 wstąpił do zakonu dominikanów w kościele św. Michała Archanioła w Prudniku. Pierwszą profesję złożył w zakonie 12 września 1967, śluby wieczyste w 1972, a 8 czerwca 1974 w Krakowie został wyświęcony na prezbitera przez biskupa Juliana Groblickiego, biskupa pomocniczego krakowskiego. Dzień później odprawił mszę prymicyjną w kościele św. Michała Archanioła w Prudniku. W latach 1967–1974 studiował na Kolegium Filozoficzno-Teologicznym Ojców Dominikanów w Krakowie. Na Wydziale Teologicznym Akademii Teologii Katolickiej w Warszawie w 1976 uzyskał tytuł magistra, a w 1981 tytuł doktora teologii.
Przed prymicjami Jana Góry, jego ojciec Stanisław poprosił prymasa Polski Stefana Wyszyńskiego o błogosławieństwo. 4 sierpnia 1974 Wyszyński wysłał list do domu rodzinnego Góry przy ul. Traugutta 41 w Prudniku o treści:
mały|Jan Góra wraz z szefem Kancelarii Prezydenta Piotrem Kownackim (2009) W latach 1974–1977 był katechetą w Tarnobrzegu, a w latach 1977–1987 był duszpasterzem młodzieży szkół średnich w Poznaniu. W 1987 został mianowany duszpasterzem akademickim w kościele Najświętszej Maryi Panny Królowej Różańca Świętego w Poznaniu, pełniąc tę funkcję aż do śmierci.