) oraz to również (iii) jeśli to
Ideał jest właściwy jeśli dodatkowo (iv)
Powyższa definicja jest równoważna definicji sformułowanej w kontekście częściowych porządków, zastosowanej do relacji zawierania zbiorów.
Ideały podzbiorów danego zbioru Szczególnym przypadkiem algebry Boole’a jest rodzina wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru (z operacjami sumy, przekroju i dopełnienia zbiorów). Zatem sformułowana powyżej definicja ideału na algebrze Boole’a może być powtórzona bez zmian dla podzbiorów zbioru Sformułujemy tę definicję jeszcze raz dla podkreślenia znaczenia intuicji, że ideał to rodzina małych podzbiorów .
Niech będzie niepustym zbiorem. Powiemy, że rodzina podzbiorów zbioru jest ideałem podzbiorów zbioru jeśli następujące warunki są spełnione: (i) (ii) jeśli i to również (iii) jeśli to
Ideał jest właściwy jeśli dodatkowo (iv)
Ideały maksymalne Ideał właściwy w porządku częściowym jest ideałem maksymalnym jeśli jedynym ideałem właściwym zawierającym jest samo