topologia przestrzeni X wyznaczona jest przez przeliczalną rodzinę półnorm (k = 0, 1, 2, ...), tzn. niepusty zbiór U jest otwarty w X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego elementu istnieje stała dodatnia K oraz o tej własności, że
jest zawarty w U; jest zupełna ze względu na każdą z półnorm (k = 0, 1, 2, ...); jest przestrzenią Hausdorffa, co jest różnoważne temu, że
W tym ujęciu można opisać zbieżność ciągów w przestrzeniach Frécheta: ciąg elementów (xn) w przestrzeni Frécheta X jest zbieżny do x wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego k:
Przykłady Przestrzeń funkcji nieskończenie razy różniczkowalnych jest przestrzenią Frécheta zadaną przez półnormy
W powyższym wzorze ƒ(k) oznacza k-tą pochodną funkcji ƒ, przy czym ƒ(0) = ƒ. W tej przestrzeni, ciąg funkcji jest zbieżny do pewnej funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciąg jest zbieżny jednostajnie do
Przestrzeń funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych jest przestrzenią Frécheta zadaną przez półnormy:
Ciąg funkcji w tej przestrzeni jest zbieżny dokładnie wtedy, gdy jest zbieżny niemal jednostajnie, tj.