Cykl wiosennych imprez w Europie na nawierzchni ziemnej w sezonie 1993 rozpoczął wygrywając 2 pierwsze turnieje – w Estoril i Barcelonie, pokonując po drodze kilku znanych specjalistów tej nawierzchni, m.in. dwukrotnie Sergiego Bruguerę i Karela Nováčka oraz Thomasa Mustera. Osiągnął następnie po raz pierwszy wielkoszlemowy półfinał, podczas French Open w Paryżu. Po wyeliminowaniu w 1 rundzie Guillerma Péreza Roldána (przegrywał 0:2 w setach) pokonał kilku znanych graczy, m.in. Marca-Kevina Goellnera. W ćwierćfinale wygrał, w przerywanym opadami deszczu meczu, ze Stefanem Edbergiem, sklasyfikowanym na 3. miejscu rankingu światowego, a w półfinale nie sprostał Sergiemu Bruguerze. W dalszej części sezonu 1993 Medwediew był m.in. w 2 półfinałach turniejowych na kortach ziemnych, ale potwierdził dobrą dyspozycję także na innych nawierzchniach – był w finale turnieju w Halle (na trawie, przegrał z Henrim Leconte), wygrał na nawierzchni betonowej w New Haven (w finale z Czechem Kordą), dotarł do ćwierćfinału US Open (pokonał m.in. Richarda Krajicka, przegrał z Cédricem Pioline). W listopadzie 1993 ponownie udanie startował w Paryżu, tym razem w prestiżowym turnieju w hali Bercy.