Niech jest układem wektorów uzyskanym w procesie ortogonalizacji Grama-Schmidta z bazy Załóżmy, że wektory są wzajemnie prostopadłe, czyli spełniają dla wszystkich oraz dla
Pokażemy, że wektor otrzymany z algorytmu ortogonalizacji Grama-Schmidta jest prostopadły z dowolnym wektorem gdzie
Mnożąc skalarnie i i korzystając z własności iloczynu skalarnego (rozdzielności iloczynu względem sumy, przemienności i zgodności z mnożeniem przez skalar) otrzymujemy:
Na mocy założenia indukcyjnego w ostatniej sumie wszystkie składniki o indeksie są zerowe, więc:
co oznacza, że wektor jest prostopadły z każdym innym wektorem
Wektor jest kombinacją liniową wektorów Z kolei jest kombinacją liniową wektorów Analogicznie dla wektora i tak dalej. Ostatecznie wektor jest kombinacją liniową wektorów a dokładniej
Gdyby to układ wbrew założeniom byłby liniowo zależny, bo nie wszystkie współczynniki liczbowe kombinacji są zerowe.
Ponieważ ortogonalny układ wektorów jest liniowo niezależny, a każdy z wektorów jest kombinacją liniową elementów z bazy więc tak wyznaczone wektory istotnie są bazą.
Przykłady Przestrzeń R² Rozważmy zbiór wektorów w (ze standardowym iloczynem skalarnym):
Teraz przeprowadzamy ortogonalizację, aby otrzymać wektory parami prostopadłe:
Sprawdzamy, że wektory u1 i u2 rzeczywiście są prostopadłe: