103.: jest taką wartością, którą należy nadać funkcji w punkcie by była w tym punkcie ciągła: jest ciągła w (Ta definicja stosuje się do wszystkich funkcji, nie tylko liczbowo-liczbowych.) Aby móc stosować tę definicję gdy lub są równe lub wystarczy rozważać rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych z odpowiednimi otoczeniami i
Warunek w definicji Cauchy’ego oznacza, że nie wymagamy W definicji przez ciągłość nie musimy wykluczać tego wymagania dla funkcji bo sprowadza się ono do warunku który jest oczywiście spełniony, bo
Jeżeli istnieje granica funkcji w punkcie i jest równa to piszemy
i czytamy „ dąży do gdy dąży do ”
lub równoważnie
co czytamy: „limes przy dążącym do równa się ”. mały| Dlatego granica jako nie istnieje.
Przykłady Nie istnieje granica
(żadna liczba, nawet 0, nie spełnia definicji granicy). Natomiast istnieją obie granice jednostronne:
Nie istnieje granica
(żadna liczba, nawet 0, nie spełnia definicji granicy). Nie istnieją też granice jednostronne.
Istnieje granica i jest równa 0.
Istnieje granica i jest równa 0.
Granica jednostronna