mały|300px|Ilustracja twierdzenia – wszystkie trzy ciągi są zbieżne do tej samej granicy
Twierdzenie o trzech ciągach – twierdzenie matematyczne o niektórych ciągach. Jest to warunek wystarczający na to, żeby nieskończony ciąg liczb rzeczywistych był zbieżny.
Analogiczne twierdzenie zachodzi też dla niektórych innych funkcji rzeczywistych. Wtedy jest znane jest jako twierdzenie o trzech funkcjach Szymon Charzyński, Twierdzenie o trzech ciągach (funkcjach), kanał Khan Academy na YouTube, 22 marca 2014 [dostęp 2025-11-26]..
Twierdzenie Niech dane będą trzy ciągi liczb rzeczywistych: Jeśli jednocześnie: dla prawie wszystkich wyrazów tych ciągów, tzn. dla wszystkich większych od pewnego wskaźnika zachodzą nierówności ciągi zbiegają do tej samej granicy:
to wtedy także ciąg do niej zbiega: Rafał Czyż, Leszek Gasiński, Marta Kosek, Jerzy Szczepański, Halszka Tutaj-Gasińska, Analiza matematyczna 1, wykład 4: Ciągi liczbowe, wazniak.mimuw.edu.pl, 11 września 2023 [dostęp 2024-07-09]..
Dowód Niech dany będzie Zbieżność ciągów oraz oznacza, że można wskazać takie, że dla dowolnego zachodzą nierówności oraz
Skąd na podstawie własności wartości bezwzględnej oraz
czyli oraz
Na podstawie powyższych nierówności i z założeń twierdzenia dla dowolnego zachodzi oszacowanie
które jest równoważne
co oznacza, że