W szczególności
Dodatkowo przyjmuje się
Z definicji potęgi wynika, iż oraz dla dowolnego .
Z definicji wynika też , chociaż w niektórych działach matematyki wyrażenie jest traktowane jako niejednoznaczne (patrz oddzielna sekcja).
Potęgę naturalną można zdefiniować indukcyjnie
Definicję tę można wprowadzić w dowolnym monoidzie z mnożeniem ; może to być mnożenie liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych czy zespolonych, może to być składanie funkcji określonych na zbiorze.
Dla dowolnych zachodzą własności: Dowód: Dowód:
jest tu powtórzone krotnie. Ponadto dla grupy przemiennej: Dowód:
Jest tak, ponieważ gdy zamienimy mnożone liczby miejscami, to wynik się nie zmieni.
Wykładnik całkowity Niech . Definicję potęgowania można rozszerzyć na wykładniki całkowite:
niech , wówczas
Z definicji wynika, że dla zachodzi:
w szczególności .
Definicję można wprowadzić w dowolnej grupie, tzn. od elementu wymaga się, aby był elementem odwracalnym.
Dla zachodzą własności: ,
Ponadto dla grupy przemiennej , gdzie oznacza zdefiniowane w grupie dzielenie .
Wykładnik wymierny Niech . Definicję potęgowania można rozszerzyć na wykładniki wymierne. Niech oraz i przyjmując :
Dowód: