Według Powszechnego Spisu Ludności z 1921 roku wieś Odrynki liczyła 35 domów i zamieszkiwana była przez 187 osób (85 kobiet i 102 mężczyzn). Większość mieszkańców Odrynek (103 osoby) zadeklarowała wówczas wyznanie prawosławne, pozostali podali kolejno: wyznanie rzymskokatolickie (69 osób) oraz wyznanie mojżeszowe (15 osób). Pod względem narodowościowym większość mieszkańców stanowili Białorusini (109 osób), pozostali to Polacy (78 osób). W okresie międzywojennym miejscowość znajdowała się w powiecie bielskim.
Współcześnie wieś posiada charakter dwuwyznaniowy. W strukturze Kościoła rzymskokatolickiego miejscowość podlega parafii Wniebowzięcia Najświętszej Maryi Panny i św. Stanisława Biskupa i Męczennika w Narwi, zaś w strukturach Kościoła prawosławnego wieś podlega parafii pw. Podwyższenia Krzyża Pańskiego w Narwi.
Przez miejscowość przechodzą szlaki: Podlaski Szlak Bociani oraz Szlak Doliny Narwi. Odrynki skomunikowane są z gminną miejscowością Narew, dzięki linii nr 253 PKS Siemiatycze.. Miejscowość zagrożona jest powodzią, ze względu na bliskie położenie względem rzeki Narew.