Pierwsza wzmianka o już wówczas istniejącej miejscowości „Mesczce” (Mieśćce) pochodzi z 1358 r., gdy król Kazimierz Wielki nadał miejscowości Rogy (Rogi) akt lokacyjny według prawa niemieckiego i wójtostwo w Rogach Piotrowi z Kołaczyc: „W tejże wiosce Rogy dajemy wyżej wzmiankowanemu Piotrowi sołtysowi nad wymienioną rzeczką Lubatową po obu jej stronach, zaczynając od „Meszcza” w górę 110 łanów frankońskich naprawie magdeburskim w pełne władanie”Kodeks Dyplomatyczny Małopolski, tom III, s. 117. Nazwa jest etymologicznie związane ze znaczeniem słowa miasto, a rolę miasta ta stara osada miała utracić na rzecz Krosna.
Nazwa wsi „Meszcze” na przestrzeni wieków ulegała zmianie. Za Jagiellonów zmieniła się na „Meszcze”, a od rozbiorów „Miejsce”. Przymiotnik „Piastowe” otrzymało Miejsce na wniosek ks. Markiewicza na Sejmie Galicyjskim w 1897 roku. Jest to synonim wyrazów wychowanie – piastowanie oraz nawiązujące do Piastów. Tu bowiem w 1892 proboszcz ks. Bronisław Markiewicz założył zakład wychowawczy i szkołę dla sierot prowadzone przez Zgromadzenie Świętego Michała Archanioła. W dniu 29 września 2007 r. kościół na Górce został ustanowiony jako Sanktuarium św. Michała Archanioła i bł. ks.