jeśli to element nazywa się późniejszym od (a element nazywa się wcześniejszym od ).
Podzbiór zbioru nazywa się liniowo uporządkowanym, jeżeli dowolne jego dwa elementy można porównać za pomocą relacji zbiór nazywa się wtedy łańcuchem w Element nazywa się ograniczeniem górnym łańcucha jeśli element jest późniejszy od jakiegokolwiek innego elementu tego łańcucha.
Zbiór częściowo uporządkowany, w którym każdy łańcuch ma ograniczenie górne, nazywa się łańcuchowo zupełnym; element nazywa się maksymalnym w zbiorze jeśli pociąga dla dowolnego
Twierdzenie Kuratowskiego-Zorna W dowolnym niepustym zbiorze łańcuchowo zupełnym istnieje (co najmniej jeden) element maksymalny.
Wniosek W dowolnej niepustej rodzinie zbiorów częściowo uporządkowanej relacją zawierania, do której należy suma każdego jej niepustego łańcucha, istnieje element maksymalnyJeśli jest łańcuchem w rodzinie jak w założeniu, to zawiera każdy ze zbiorów tego łańcucha; stąd jeśli to zbiór ten jest ograniczeniem górnym łańcucha w W ten sposób spełnione są założenia lematu Kuratowskiego-Zorna: ograniczeniem górnym dowolnego niepustego łańcucha jest jego suma, zaś pustego – przez dowolny element czyli w rodzinie istnieje element maksymalny..
Uwagi
Przypisy
Bibliografia Krzysztof Ciesielski, Set Theory for the Working Mathematician. Cambridge University Press, 1997.
Linki zewnętrzne
K Kategoria:Twierdzenia teorii porządku