W drużynie U-18 Manchesteru City zadebiutował 9 lutego 2019 roku w meczu ze Stoke City U-18.
W sierpniu 2020 roku Bazunu został zgłoszony do kadry Manchesteru City na rewanżowy mecz 1/8 finału Ligi Mistrzów UEFA z Realem Madryt.
Wypożyczenia do Rochdale i Portsmouth Jeszcze w tym samym miesiącu przedłużył kontrakt z Manchesterem City do 2024 roku, a następnie został wypożyczony na cały sezon do występującego w League One Rochdale. Zadebiutował tam 5 września 2020 roku, wychodząc w podstawowym składzie i zachowując czyste konto w wygranym 1:0 wyjazdowym meczu Pucharu Ligi z Huddersfield Town. Pierwszy występ ligowy zaliczył tydzień później, w przegranym 1:3 spotkaniu ze Swindon Town.
1 lipca 2021 roku trafił na wypożyczenie do Portsmouth na sezon 2021/22. Po zakończeniu rozgrywek został wybrany zarówno Piłkarzem Sezonu według kolegów z drużyny, jak i najlepszym zawodnikiem całego zespołu.
Southampton 17 czerwca 2022 roku Bazunu podpisał pięcioletni kontrakt z Southampton za kwotę, według doniesień, wynoszącą 12 milionów funtów. 6 sierpnia 2022 roku zaliczył swój pierwszy występ w Premier League w barwach Southampton, w przegranym 1:4 meczu z Tottenhamem Hotspur.