Kariera i badania naukowe Welton rozpoczął swoją karierę w Imperial College London jako stypendysta Lloyd's w 1993 roku. W 1995 roku został wykładowcą, a w 2004 uzyskał tytuł profesora. W ICL pełnił funkcję dyrektora studiów licencjackich na katedrze chemii oraz kierownika katedry chemii w latach 2007–2014. Od stycznia 2015 do końca kadencji w grudniu 2019 pełnił również funkcję dziekana wydziału nauk przyrodniczych.
W latach 2013–2022 był członkiem Rady Powierniczej Royal Society of Chemistry, zasiadał również w komisji nadzorującej program RSC na rzecz różnorodności. W lipcu 2020 r. zastąpił profesor na stanowisku prezesa RSC, a dwa lata później jego następczynią została profesor .
Badania naukowe Welton zajmuje się dyscypliną zielonej chemii i poświęcił większość swojej kariery badaniu właściwości cieczy jonowych, ich interakcji z substancjami w nich rozpuszczonymi oraz wpływu tych zjawisk na reakcje chemiczne. Jego grupa badawcza zajmuje się zastosowaniami tych zjawisk w opracowywaniu bezpiecznych dla środowiska metod syntezy organicznej oraz w produkcji biopaliw. Jego z 1999 roku, była cytowana ponad 10 000 razy.