Zatem aby rozwiązać postawione zagadnienie, należy wyznaczyć ekstremum (minimum) funkcjonału:
Jako że zadana całka nie zależy jawnie od zmiennej można zamiast równania Eulera zastosować tożsamość Beltramiego
gdzie oznacza pewną stałą. Po uproszczeniu powyższego wyrażenia otrzymuje się:
Jest to równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem jest cykloida postaci:
Zobacz też rachunek wariacyjny tautochrona
Przypisy
Linki zewnętrzne Jan Pochciał, Wokół brachistochrony, „Matematyka i Informatyka na Uczelniach Technicznych” (MINUT) – Politechnika Śląska, minut.polsl.pl, , 2020 [dostęp 2026-01-17]. [dostęp 2026-01-17]. Brachistochrone , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23]. Grant Sanderson, The Brachistochrone, with Steven Strogatz, kanał 3blue1brown na YouTube, 1 sierpnia 2016 [dostęp 2021-03-15]. Michael Stevens, The Brachistochrone, kanał Vsauce na YouTube, 21 stycznia 2017 [dostęp 2021-03-15].
Kategoria:Dynamika Kategoria:Krzywe cykliczne Kategoria:Rachunek wariacyjny