Opis szczytu Nazwa szczytu pochodzi od często pasących się na jej zboczach stad kozic, zwłaszcza na jego łagodniejszych, południowych stokach. Stosowana była ona od dawna przez pasterzy wypasających w Dolinie Pięciu Stawów Polskich, pasterze z Doliny Gąsienicowej nazywali ten szczyt natomiast Czarnymi Ścianami (nazwa ta została później przesunięta przez turystów na sąsiedni szczyt). W piśmiennictwie nazwa Kozi Wierch pojawiła się dopiero w 1851 r.
Po raz pierwszy drogę na Kozi Wierch (pierwsze odnotowane wejście) pokonał Eugeniusz Janota wraz z Maciejem Sieczką w 1867 r. Jest prawdopodobne, że już dużo wcześniej na szczyt wchodzili z Doliny Pięciu Stawów Polskich pasterze i myśliwi. Zimowe zdobycie szczytu odnotowano 3 kwietnia 1907 r., należy ono do Mariusza Zaruskiego i Józefa Borkowskiego. Było to wejście narciarskie, w owych czasach jedno z największych osiągnięć w narciarstwie tatrzańskim. Mariusz Zaruski tak opisuje to wejście: „Z jednej strony posępna, czarna ściana Zawratowej Turni – lodowe wieńce i pióropusze zdobią jej rozpadliny, z drugiej zwały śniegowe Małego Koziego Wierchu o kształtach najfantastyczniejszych...