Po uproszczeniu wyrażenia pod pierwiastkiem (sprowadzeniu do wspólnego mianownika i rozłożeniu na czynniki) uzyskujemy:
,
gdzie , q.e.d.
Warunki stosowalności
Wzór Brahmagupty jest prawdziwy wyłącznie dla czworokątów wpisanych w okrąg, czyli takich, których wszystkie wierzchołki leżą na jednym okręgu. W szczególności oznacza to, że sumy miar przeciwległych kątów są równe:
.
Jeżeli czworokąt nie spełnia tego warunku, wzór nie daje poprawnej wartości pola.
Uogólnienie
Dla dowolnego czworokąta (niekoniecznie wpisanego w okrąg) pole można wyrazić poprzez twierdzenie Bretschneidera:
,
gdzie oznacza połowę sumy miar dwóch przeciwległych kątów czworokąta. W przypadku czworokąta wpisanego w okrąg zachodzi , a więc , co prowadzi do wzoru Brahmagupty.
Związek ze wzorem Herona
Wzór Brahmagupty można traktować jako uogólnienie wzoru Herona, co można zapisać w postaci granicy:
.
Historia
Wzór został opisany przez Brahmaguptę w dziele Brahmasphutasiddhanta (628 r.). Był jednym z pierwszych znanych wyników dotyczących geometrii czworokątów i stanowi ważny etap rozwoju matematyki indyjskiej.
Przypisy
Kategoria:Czworokąty Kategoria:Twierdzenia o okręgach i czworokątach