Punkt zero jest „na krawędzi” utraty charakteru atraktora.
Dla parametru 1<k≤2 liczba zero nadal jest punktem stałym przekształcenia logistycznego (niezależnie od wartości k jest f(0)=0), jednakże z atraktora zmienia się w repeler – zamiast „przyciągać” do siebie kolejne wartości, „odpycha” je. W sąsiedztwie zera ciąg iteracji staje się rosnący:
Równocześnie w pozostałej części dziedziny iteracje nadal dają ciąg malejący:
Punkt jest wspólną granicą wszystkich ciągów iteracji odwzorowania logistycznego, otrzymanych dla każdego punktu startowego x0 – jest więc nowym atraktorem odwzorowania.
thumb|300px|Iteracje odwzorowania Dla parametru 2<k≤3 charakter ciągów (xn) komplikuje się – przestają być monotoniczne. Na przykład dla parametru k=2,5 i punktu startowego x0=0,1 otrzymuje się ciąg: 0,1; 0,225; ~0,43593; ~0,61474; ~0,59209; ~0,60380; ~0,59806; ~0,60096...
Granicą tego ciągu jest:
Gdy parametr k przekracza wartość 3, punkt traci dotychczasowy charakter atraktora (podobnie jak stracił go punkt 0, gdy k przekroczył 1). Pojawiają się dwa nowe punkty przyciągania – atraktor przekształcenia staje się dwupunktowy z basenem przyciągania Rozdwojenie to nosi nazwę bifurkacji.