mały|Nierówność Jensena przedstawiona graficznie Nierówność Jensena – nierówność między wartością funkcji wypukłej określonej dla kombinacji wypukłej pewnych argumentów a wypukłą kombinacją wartości funkcji w tych argumentach, przy czym obie kombinacje wypukłe mają te same współczynniki. Nazwa nierówności pochodzi od nazwiska Johana Jensena, duńskiego matematyka i inżyniera.
Twierdzenie Dla dowolnych liczb nazywanych wagami, spełniających warunek:
dla dowolnego przedziału dowolnych liczb
i dowolnej funkcji wypukłej w prawdziwa jest nierówność:
Dla funkcji wklęsłych prawdziwa jest nierówność w przeciwną stronę.
Dowód mały|Obrazkowy dowód nierówności Jensena. Punkt będący średnią ważoną punktów znajduje się w ich otoczce wypukłej, która (z wypukłości) leży nad wykresem funkcji. Dowód indukcyjny ze względu na
Dla nierówność jest oczywista. Dla uzyskujemy definicję funkcji wypukłej.
Niech Założenie indukcyjne jest następujące:
gdzie należą do przedziału oraz
Teza indukcyjna to:
gdzie należą do przedziału oraz
Niech dla oraz Bez straty ogólności można założyć, że .
Przekształcimy sumę tak, by można było zastosować do niej założenie indukcyjne oraz wypukłość . Spójrzmy na następujące wyrażenie:
,
oraz połóżmy , .