Działanie – podstawowe pojęcie mechaniki teoretycznej. Wyraża się w jednostkach iloczynu energii i czasu bądź pędu i drogi. Działanie to całka lagranżjanu układu między dwoma stanami:
Obowiązuje wariacyjna zasada najmniejszego działania analogiczna do zasady najmniejszego czasu.
Funkcja działania to całka dana wzorem:
gdzie to współrzędne uogólnione, a to ekstremala łącząca punkty i Definicja ta ma sens pod warunkiem, że ekstremale wychodzące z punktu więcej się nie przecinają.
Funkcja działania spełnia równanie Hamiltona-Jacobiego.
Równania Eulera-Lagrange’a Równania Eulera-Lagrange’a otrzymuje się z warunku, że pochodne funkcjonalne działania względem funkcji zerują się, tj.
co implikuje równanie Eulera-Lagrange’a:
którego rozwiązaniem są funkcje dla których jest stacjonarne. To znaczy, że dla niewielkich odchyleń od zmienia się nieznacznie. Jest to warunkiem koniecznym, żeby przyjmowało dla ekstremum.
Przykład: Cząstka swobodna Cząstka swobodna o masie m, mająca prędkość v porusza się w przestrzeni Euklidesa po prostej. Wykażemy to korzystając z równań Eulera-Lagrange’a zapisanych we współrzędnych biegunowych.
(1) Dla cząstki swobodnej potencjał jest zerowy, dlatego Lagrangian jest równy energii kinetycznej.