gdzie: jest ustalonym krokiem.
Ze wzoru (1) wynika, że
Pierwsza różnica skończona uogólnionej potęgi, po uwzględnieniu (9), wyraża się wzorem
Na zasadzie indukcji można dowieść, że
Ponieważ jest wielomianem n-tego stopnia więc oczywiście
Pierwsza formuła Newtona Dane są wartości funkcji na zbiorze równoodległych punktów Należy zbudować wielomian interpolacyjny taki, który spełnia warunki
Warunki te są równoważne warunkom
Zgodnie z koncepcją Newtona wielomianu będziemy poszukiwać w postaci
lub
Korzystając ze wzoru (10), możemy napisać
Ze wzoru (13) wynika, że dla
Na podstawie (12) i (14) otrzymujemy interpolacyjny wielomian Newtona w postaci
gdzie:
Na podstawie wzoru (15) można obliczyć wartości uwzględniając, że
Ostatecznie otrzymujemy
Po wprowadzeniu nowej zmiennej
wzór (15) przyjmuje postać pierwszej formuły Newtona
przy czym
Współczynniki zostały stablicowane.
Dla otrzymujemy – dla interpolacji liniowej, – dla interpolacji kwadratowej, – dla interpolacji sześciennej.
Druga formuła Newtona Tym razem poszukuje się wielomianu o postaci
gdzie:
Dla obliczenia współczynników wykorzystuje się wzory na kolejne różnice
Z powyższych wzorów wynika, że
i dzięki temu poszukiwany wielomian można zapisać w postaci
Po wprowadzeniu nowej zmiennej
powstaje druga formuła Newtona
gdzie: